一般道にある「中央公民館前」へ直行するバスはありません。

一般道のバスだけで行くのであれば、「具志川BT」行、または「屋慶名BT」行のバスで 「安慶名(あげな)」 か 「栄野比(えのび)」まで行けば、77系に乗り継ぐことが可能です。
90系、190系が「栄野比」を通り、「安慶名」を通るバスは多数あります。所要時間は 「栄野比」乗り換えの方が15分くらい短くなります。
ただし77系が減便(平日12往復、土日10往復)になっているので、乗り継ぎに時間がかかる場合が多いと思います。

一般道での移動はとても時間がかかりますが、 1日フリーパス(2900円) を使えるので往復とも一般道でいくのであればかなり安くなります。
※那覇BT-安慶名1180円 ＋ 安慶名-中央公民館前1080円 = 2260円 × 2(往復) = 4520円 に対し、フリーパスは2900円です。）
ただし、フリーパスは事前購入必要で車内では買えません。那覇バスターミナル内にある窓口で買えます。
→ 沖縄路線バス周遊パス のサイトへ

那覇BT（旭橋）まで移動して「旭橋」から 111系か117系の高速バスで移動する方法がベストです。
県庁北口から 那覇BTまで歩いても５～６分ですし、ゆいレール もあります。

一般道のバスのみで行く場合は 具志川BT行 か 屋慶名BT行 のバスで「安慶名」か「栄野比」まで行くと、77系に乗り継げます。90系と190系は「栄野比」、他の系統では「安慶名」での乗り換えが便利です。「栄野比」乗り換えの方が15分くらい所要時間は短くなりますが、77系が少ないので変わらないかもしれません。

※ 牧志周辺から「宜野座IC」や「中央公民館前」に直行するバスはありません。

乗継ぎの方法としては、高速バスへ乗り継いで宜野座ICまで行く方法があります。

(1)「旭橋」乗換え
(2)「県立医療センター前」乗換え
(3)「那覇インター前」乗換え
の３つの方法があります。

(1)の「旭橋」までゆいレールで移動する方法 が渋滞などによる遅れもなく分かりやすいですが、(2)(3)の方が早く移動できる場合も多くあります。

一般道のバスを乗り継ぐ方法か、ちょっと遠回りになっても早い高速バスに乗り継ぐ方法があります。

一般道のバスで乗り継ぐということであれば 「おもろまち駅前」から 21系 か 112系 で「安慶名(あげな)」のバス停に行くか、90系 か 190系で 「栄野比(えのび)」に行き、77系 に乗り換えて「中央公民館前」まで行く方法があります。
「栄野比」乗り換えの方が所要時間は15分くらい短くなりますが、77系の本数が少ないのでどちらでも変わらないかもしれません。
「安慶名」での乗り換えは同じバス停、「栄野比」での乗り換えは反対方向バス停です。

「牧志駅」からの接続は「牧志から」を参照願います。
「首里駅」からの接続は「古島から」を参照願います。

ただ、朝夕の通勤時間帯は那覇市内の道路は慢性的に渋滞しているので 遅延による乗り遅れのリスク を考えると、時間に正確な ゆいレールで旭橋に出る 方法が確実かもしれません。

一般道のバスを乗り継ぐか、ゆいレールで首里駅に出て、バスで「那覇インター前」に移動し111系か117系 高速バスに乗り換える方法があります。

「宜野座IC」から 111系か117系高速バスで「旭橋」に出て、徒歩やゆいレールで「県庁北口」に移動する方法がお勧めです。

または時間はかかりますが、77系で「栄野比」または「安慶名」まで行き、那覇方面のバスに乗り換える方法もあります。
どちらのバス停も那覇方面へのバスはたくさん走っているので77系の時間が合えば、乗り換え待ちは少ないと思います。

※ 直行するバスはありません。

高速バスからの乗り継ぎとしては、
(1) 旭橋（那覇BT）まで出てゆいレールで移動する
(2)「県立医療センター前」で降りて「安里」に出る
(3)「那覇インター前」で降りて「安里」に出る
方法があります。

77系の屋慶名方面に乗り、「栄野比」か「安慶名」で乗り換える方法があります。ただし時間がかかります。

「旭橋」で降りるとそのままゆいレールに乗れますが、戻りが大きいので時間的なロスが大きくなります。
「県立医療センター前」や「那覇インター前」で降りると、牧志駅や首里駅に移動できます。
乗り換え回数は多くなりますが、旭橋まで出るよりは 移動時間が短縮できる場合が多くなります。

「牧志駅」への接続は「牧志へ」を参照願います。
「首里駅」への接続は「古島へ」を参照願います。

77系の屋慶名方面に乗り、「栄野比」か「安慶名」で乗り換える方法があります。ただし時間がかかります。